\section{初轨确定}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection}
\begin{columns}
\column{0.6\textwidth}
    既然我们已经知道如何描述轨道上物体的运动，一个重要的问题是我们如何实际确定它。
\column{0.3\textwidth}
    \vspace{-20pt}
    \hspace{-20pt}\includegraphics[scale=0.6]{fig_2_8.pdf}
\end{columns}
\begin{itemize}
    \item 存在基于统计方法的非常复杂的轨道确定方法，事实上，关于这个主题已经出版了整本的专著。
    \item 然而，所有这些复杂方法都是基于对\textcolor{blue}{初轨估计}的修正。
    \item 因此，初始确定物体轨道的方法具有重要意义。
\begin{itemize}
    \item 有几种方法（及其变体）可以实现这一点，它们取决于可用的\textcolor{blue}{测量数据}。
    \item 我们将研究三种方法。
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

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\subsection{基于三个位置矢量的轨道确定}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
给定三个位置矢量 \(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3\) 和某个时间点 \(t_i\)（$i=1,2,3$）：
\begin{center}\includegraphics{fig_3_1.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.1:} 基于三个位置矢量的轨道确定\end{center}
\begin{block}{获取轨道要素的步骤：}
1. 计算模长：$r_1=\sqrt{\vec r_1 \cdot \vec r_1},r_2=\sqrt{\vec r_2 \cdot \vec r_2},r_3=\sqrt{\vec r_3 \cdot \vec r_3}$。 \\
2. 计算 \(\vec{n} = \vec{r}_1 \times \vec{r}_3\) 和 $n=\sqrt{\vec n \cdot \vec n}$。
\begin{center}\includegraphics{fig_3_p25.pdf}\end{center}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{block}{}
3. 计算 \(\alpha\) 和 \(\beta\)
\[
\alpha = \frac{\vec{n} \cdot (\vec{r}_2 \times \vec{r}_3)}{n^2}, \quad 
\beta = \frac{\vec{n} \cdot (\vec{r}_1 \times \vec{r}_3)}{n^2}
\]
4. 计算角动量矢量
\[ h = \sqrt{\frac{\mu(r_2 - \alpha r_1 - \beta r_3)}{1 - \alpha - \beta}}, \quad 
\vec{h} = h\frac{\vec{n}}{n} \]
5. 计算偏心率矢量
\[
\vec{e} = \frac{1}{n^2} \left[ \left( \frac{h^2}{\mu} - r_1 \right) \vec{r}_3 \times \vec{n} - \left( \frac{h^2}{\mu} - r_3 \right) \vec{r}_1 \times \vec{n} \right]
\]
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{block}{}
6. 计算时刻 \(t_i\) 的速度 $\vec v_i$：
\[ \vec{v}_i = \frac{\mu}{h^2} \vec{h} \times \left( \vec{e} + \frac{\vec{r}_i}{r_i} \right) \]
7. 使用 \(\vec{r}_i\)、\(\vec{v}_i\) 和 \(t_i\) 计算轨道要素
\end{block} 
\end{frame}

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\subsection{基于三个视线矢量的轨道确定}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
假设我们只有光学测量数据可用。
\begin{itemize}
    \item 这种情况下，我们只能从观测位置获得目标物体（需要确定其轨道）的方向信息，而无法获得距离信息。
    \item 因此，我们无法直接计算物体的位置矢量。
    \item 我们必须仅基于视线矢量来确定轨道。
\end{itemize}
\begin{center}\includegraphics{fig_3_2.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.2:} 基于三个视线矢量的轨道确定\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{center}\includegraphics{fig_3_2.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.3:} 基于三个视线矢量的轨道确定\end{center}
设 \\
\(\textcolor{blue}{t_j}\)：时刻，\(i = 1, 2, 3\)，其中 \(t_1 < t_2 < t_3\)。\\
\(\textcolor{blue}{\vec{R}_i}\)：观测者在时刻 \(t_i\) 的（已知）位置，\(i = 1, 2, 3\)。\\
\(\textcolor{blue}{\vec{t}_i}\)：时刻 \(t_i\) 的（测量得到的）单位视线矢量，\(i = 1, 2, 3\)。\\
\(\textcolor{blue}{\rho_i}\)：时刻 \(t_i\) 到目标的（未知）距离，\(i = 1, 2, 3\)。\\
\(\textcolor{blue}{\vec{r}_i}\)：目标物体在时刻 \(t_i\) 的轨道位置，\(i = 1, 2, 3\)。
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{block}{假设条件：}
\begin{enumerate}
    \item 真近点角 \(\theta_1\) 和 \(\theta_3\) 对应于 \(\vec{r}_1\) 和 \(\vec{r}_3\) 满足
    \[ \theta_3 - \theta_1 < 90^\circ. \]
    \item 轨道为椭圆轨道。
\end{enumerate}
\end{block}
\begin{block}{已知条件：}
\begin{enumerate}
    \item 已测得时刻 \(t_1\)、\(t_2\) 和 \(t_3\) 的视线测量值 \(\vec{l}_1\)、\(\vec{l}_2\)、\(\vec{l}_3\)。
    \item 各时刻的观测站位置已知，分别为 \(\vec{R}_1\)、\(\vec{R}_2\) 和 \(\vec{R}_3\)。
\end{enumerate}
\end{block}
轨道要素计算算法详见：\\
A. H. J. de Ruiter, C. J. Damaren, J. R. Forbes, \textit{航天器动力学与控制导论}, John Wiley and Sons Ltd, 2013, 第108页。
\end{frame}

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\subsection{基于两个位置矢量和时间的轨道确定}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
    \begin{center}\includegraphics{fig_3_4.pdf}\end{center}
    \begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.4:} 基于两个位置矢量和时间的轨道确定\end{center}
\begin{block}{已知条件：}
\begin{enumerate}
    \item 给定位置矢量 \(\vec{r}_1\) 和 \(\vec{r}_2\)，以及转移时间 \(t_2 - t_1\)。
\end{enumerate}
\end{block}
\begin{block}{假设条件：}
\begin{enumerate}
    \item 真近点角差 \(\theta_2 - \theta_1 < 90^\circ\)。
    \item 轨道为椭圆轨道。
\end{enumerate}
\end{block}
轨道要素计算算法详见：\\
A. H. J. de Ruiter, C. J. Damaren, J. R. Forbes, \textit{航天器动力学与控制导论}, John Wiley and Sons Ltd, 2013. 第112页。
\end{frame}

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\subsection{备注}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{itemize}
    \item 本文介绍的技术可用于根据测量数据初步确定轨道。
    \item 当获得更多测量数据后，可应用其他技术来改进轨道估计。
\end{itemize}
\end{frame}
